【正交矩陣的特點】正交矩陣具有以下特性：逆矩陣也是正交的，兩個正交矩陣的乘積也是正交的 。正交矩陣的行列式的值為正1或負1 。事實上，所有n×n正交矩陣構成的集合滿足群的公理 。這個集合是一個維度為n(n?1)/2的緊致李群，稱為正交群 ， 記作O(n) 。行列式為1的正交矩陣構成了一個路徑連通的子群，指標為2的O(n)正規子群，稱為旋轉的特殊正交群 ， 記作SO(n) 。商群O(n)/SO(n)同構于O(1)，具有行列式選擇[1]或[?1]的投影映射 。帶有行列式為?1的正交矩陣不包括單位矩陣，因此它們不構成子群 ， 只是陪集；它們也是(分離的)連通的 。因此，每個正交群可以分為兩個部分；由于投影映射的分裂，O(n)可以看作是SO(n)與O(1)的半直積 。用常見術語來說，一個重要的陳述是任何正交矩陣都可以通過采用一個旋轉矩陣并可能取反它的一列來生成，就像在2×2矩陣中所觀察到的那樣 。如果n是奇數，則半直積實際上就是直積 ， 任何正交矩陣都可以通過采用一個旋轉矩陣并可能取反它的所有列來生成 。
