因為矩陣可以化成對角元素都是其特征值的對角矩陣 ， 而行列式的值不變，對角矩陣的行列式就是對角元素相乘 。記矩陣為A ， 記λ為A的特征值 ， 按照定義有：f(λ)=det(A-λE)=0 ， f(λ)為A的特征多項式，A的所有特征值為f(λ)=0的根 ， 根據韋達定理 ， 方程的根的乘積與系數的關系，特征值的乘積恰好為矩陣A的主子式的代數和，而這個和等于detA 。所以特征值乘積等于行列式的值 。
行列式的性質：
1、行列式A中某行（或列）用同一數k乘 ， 其結果等于kA 。
2、行列式A等于其轉置行列式AT 。
3、若n階行列式|αij|中某行（或列）；行列式則|αij|是兩個行列式的和，這兩個行列式的第i行（或列），一個是b1，b2，…，bn；另一個是с1 ， с2 ， … ， сn；其余各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣 。
4、行列式A中兩行（或列）互換，其結果等于-A 。⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一數后加到另一行（或列）中各對應元上 ， 結果仍然是A 。
拓展：
行列式定義的連加運算中，每一項可以這么理解：
行列式每一行都選出一個數字進行連乘，并且這些選出的數不能是同一列的 。次數第二高的式子必須至少有n-1個(λ-aii) 。
然而|λI-A|的連加運算中不可能有哪一項包含n-1個(λ-aii) 。因為如果存在包含n-1個(λ-aii)的項，那么假設沒提供(λ-aii)的那行是第k行 。
第k行必須從別的列上取一個數，但是其他的n-1行提供的(λ-aii)把其他的n-1列都占用了并且還在對角線上 。這導致第k行只能去第k列取數 ， 而k行k列顯然是(λ-akk)，存在矛盾 。
【特征值相乘等于行列式的值 特征值相乘為什么等于行列式】所以次數第二高的項也在（-1）τ(1，2,··· ， n)П(λ-aii)中 。
