1、為什么說(shuō)阿基里斯追不上烏龜如柏拉圖描述，芝諾說(shuō)這樣的悖論，是興之所至的小玩笑 。首先，巴門尼德編出這個(gè)悖論 ， 用來(lái)嘲笑"數(shù)學(xué)派"所代表的畢達(dá)哥拉斯的" 1-0.999…>0"思想 。然后，他又用這個(gè)悖論 ， 嘲笑他的學(xué)生芝諾的"1-0.999…=0，但1-0.999…>0"思想 。最后，芝諾用這個(gè)悖論，反過(guò)來(lái)嘲笑巴門尼德的"1-0.999…=0，或1-0.999…>0"思想 。
有人解釋道：若慢跑者在快跑者前一段，則快跑者永遠(yuǎn)趕不上慢跑者，因?yàn)樽汾s者必須首先跑到被追者的出發(fā)點(diǎn)，而當(dāng)他到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn)，慢跑者又向前了一段，又有新的出發(fā)點(diǎn)在等著它，有無(wú)限個(gè)這樣的出發(fā)點(diǎn) 。
芝諾當(dāng)然知道阿基里斯能夠捉住海龜，跑步者肯定也能跑到終點(diǎn) 。
類似阿基里斯追上海龜之類的追趕問(wèn)題 ， 我們可以用無(wú)窮數(shù)列的求和，或者簡(jiǎn)單建立起一個(gè)方程組就能算出所需要的時(shí)間，那么既然我們都算出了追趕所花的時(shí)間，我們還有什么理由說(shuō)阿基里斯永遠(yuǎn)也追不上烏龜呢？然而問(wèn)題出在這里：我們?cè)谶@里有一個(gè)假定 ， 那就是假定阿基里斯最終是追上了烏龜，才求出的那個(gè)時(shí)間 。但是芝諾的悖論的實(shí)質(zhì)在于要求我們證明為何能追上 。上面說(shuō)到無(wú)窮個(gè)步驟是難以完成 。
以上初等數(shù)學(xué)的解決辦法，是從結(jié)果推往過(guò)程的 。悖論本身的邏輯并沒(méi)有錯(cuò) ， 它之所以與實(shí)際相差甚遠(yuǎn)，在于這個(gè)芝諾與我們采取了不同的時(shí)間系統(tǒng) 。人們習(xí)慣于將運(yùn)動(dòng)看做時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，而芝諾的解釋則采取了離散的時(shí)間系統(tǒng) 。即無(wú)論將時(shí)間間隔取的再?。?整個(gè)時(shí)間軸仍是由有限的時(shí)間點(diǎn)組成的 。換句話說(shuō)，連續(xù)時(shí)間是離散時(shí)間將時(shí)間間隔取為無(wú)窮小的極限 。
其實(shí)這歸根到底是一個(gè)時(shí)間的問(wèn)題 。譬如說(shuō)，阿基里斯速度是10m/s，烏龜速度是1m/s，烏龜在前面100m 。實(shí)際情況是阿基里斯必然會(huì)在100/9秒之后追上烏龜 。按照悖論的邏輯，這100/9秒可以無(wú)限細(xì)分，給我們一種好像永遠(yuǎn)也過(guò)不完的印象 。但其實(shí)根本不是如此 。這就類似于有1秒時(shí)間，我們先要過(guò)一半即1/2秒，再過(guò)一半即1/4秒，再過(guò)一半即1/8秒，這樣下去我們永遠(yuǎn)都過(guò)不完這1秒 ， 因?yàn)闊o(wú)論時(shí)間再短也可無(wú)限細(xì)分 。但其實(shí)我們真的就永遠(yuǎn)也過(guò)不完這1秒了嗎？顯然不是 。盡管看上去我們要過(guò)1/2、1/4、1/8秒等等，好像永遠(yuǎn)無(wú)窮無(wú)盡 。但其實(shí)時(shí)間的流動(dòng)是勻速的，1/2、1/4、1/8秒，時(shí)間越來(lái)越短，看上去無(wú)窮無(wú)盡 ， 其實(shí)加起來(lái)只是個(gè)常數(shù)而已，也就是1秒 。所以說(shuō)，芝諾的悖論是不存在的 。
芝諾是古希臘一個(gè)極善于詭辯的哲學(xué)家 。他的一個(gè)眾人皆知的“阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜”的詭辯是這樣的：阿基里斯是古希臘神話中善跑的英雄 。假設(shè)烏龜先爬一段路然后阿基里斯去追它 。芝諾認(rèn)為阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜 。因?yàn)榍罢咴谧飞虾笳咧氨仨毷紫冗_(dá)到后者的出發(fā)點(diǎn)，可是，這時(shí)后者又向前爬了一段路了 。于是前者又必須趕上這段路 ， 可是這時(shí)后者又向前爬了 。由于阿基里斯和烏龜之間的距離可依次分成無(wú)數(shù)小段，因此阿基里斯雖然越追越近，但永遠(yuǎn)追不上烏龜 。顯然，這個(gè)結(jié)論在實(shí)踐上是錯(cuò)誤的，但奇怪的是這一論證在邏輯上似乎沒(méi)有任何毛病 。但用微積分的思想,卻可以發(fā)現(xiàn):
由于這段路程被分成了無(wú)數(shù)小段 ， 而根據(jù)芝諾的推論,在每一個(gè)小段里，阿基里斯是永遠(yuǎn)追不上烏龜?shù)?。這顯然是正確的 ?？墒?，我們可以看到 ， 這無(wú)數(shù)個(gè)小段加起來(lái),阿基里斯就剛好可以追到 。這涉及到等比無(wú)窮數(shù)列問(wèn)題 。如果曲線上的一點(diǎn)沿著曲線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，該點(diǎn)與某條直線的距離趨于零，則稱此直線為曲線的漸近線，曲線與曲線的漸近線是沒(méi)有交點(diǎn)的,所以 ， 用微積分的思想是不能證明的，除非曲線與曲線的漸近線是有交點(diǎn)的 。
芝諾是古希臘一個(gè)極善于詭辯的哲學(xué)家 。他的一個(gè)眾人皆知的“阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜”的詭辯是這樣的：阿基里斯是古希臘神話中善跑的英雄 。假設(shè)烏龜先爬一段路然后阿基里斯去追它 。芝諾認(rèn)為阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜 。因?yàn)榍罢咴谧飞虾笳咧氨仨毷紫冗_(dá)到后者的出發(fā)點(diǎn)，可是，這時(shí)后者又向前爬了一段路了 。于是前者又必須趕上這段路，可是這時(shí)后者又向前爬了 。由于阿基里斯和烏龜之間的距離可依次分成無(wú)數(shù)小段，因此阿基里斯雖然越追越近 ， 但永遠(yuǎn)追不上烏龜 。顯然，這個(gè)結(jié)論在實(shí)踐上是錯(cuò)誤的，但奇怪的是這一論證在邏輯上似乎沒(méi)有任何毛病 。但用微積分的思想,卻可以發(fā)現(xiàn):
由于這段路程被分成了無(wú)數(shù)小段，而根據(jù)芝諾的推論,在每一個(gè)小段里，阿基里斯是永遠(yuǎn)追不上烏龜?shù)?。這顯然是正確的 ?？墒?，我們可以看到，這無(wú)數(shù)個(gè)小段加起來(lái),阿基里斯就剛好可以追到 。這涉及到等比無(wú)窮數(shù)列問(wèn)題 。如果曲線上的一點(diǎn)沿著曲線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，該點(diǎn)與某條直線的距離趨于零，則稱此直線為曲線的漸近線，曲線與曲線的漸近線是沒(méi)有交點(diǎn)的,所以，用微積分的思想是不能證明的，除非曲線與曲線的漸近線是有交點(diǎn)的 。
首先阿基里斯必須跑到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)，這樣，烏龜總是領(lǐng)先阿基里斯一段路 。
假設(shè)烏龜超前1000米，阿基里斯以百倍與烏龜?shù)乃俣认蚯摆s，當(dāng)阿基里斯跑的烏龜?shù)脑瓉?lái)位置時(shí) ， 烏龜前進(jìn)了10米；當(dāng)阿基里斯跑完這10米距離時(shí)，烏龜又前進(jìn)了1分米；……如此下去，阿基里斯固然可以不斷縮短同烏龜?shù)木嚯x，但始終處與烏龜?shù)暮竺?。
這是一個(gè)謬論，學(xué)了極限之后你就可以證明了 。
空間和時(shí)間不是可以無(wú)限分割的，所以有一段時(shí)間是最微小的，阿基里斯和烏龜共同前進(jìn)一個(gè)空間單位，然后超過(guò)烏龜 。
2、物理四神獸――芝諾的龜 物理學(xué)中有非常多的思想實(shí)驗(yàn) ， 其中有四個(gè)比較出名，即芝諾的龜、拉普拉斯的妖、麥克斯韋的妖和薛定諤的貓 。這四個(gè)思想實(shí)驗(yàn)中的龜、妖、妖和貓也被戲稱為物理學(xué)四大神獸 。從本篇開(kāi)始，我將寫(xiě)四篇文章對(duì)上述四個(gè)思想實(shí)驗(yàn)做較為深入的解讀和分析 。
一、芝諾悖論的四種表述
芝諾的龜出自于芝諾佯謬（也叫芝諾悖論，Zeno’s paradox），而實(shí)際上，類似的悖論在中國(guó)古代的《莊子·天下篇》中就有描述 。
芝諾佯謬來(lái)自于亞里士多德在其《物理學(xué)》的第VI卷中的轉(zhuǎn)述 ， 共有四個(gè)版本：
1、二分法悖論 。如圖1所示，現(xiàn)在有一個(gè)運(yùn)動(dòng)員從起跑點(diǎn)出發(fā)往終點(diǎn)跑去 。他要想跑到終點(diǎn)，就必須先到達(dá)全程的一半處，而要想到達(dá)一半處，必須先到達(dá)1/4處，這個(gè)過(guò)程可以無(wú)限的進(jìn)行下去 ， 所以 ， 他永遠(yuǎn)到達(dá)不了終點(diǎn)，或者說(shuō) ， 他根本動(dòng)不了 。
<figcaption>圖1 二分法示意圖</figcaption>
2、阿基里斯和龜 。如圖2所示 ， 阿基里斯追前面的一只烏龜，阿基里斯的速度大于烏龜?shù)乃俣?。初始時(shí)烏龜處于A1處，等阿基里斯跑到A1處時(shí)，烏龜已經(jīng)爬到A2處了；當(dāng)阿基里斯再趕到A2處時(shí)，烏龜已經(jīng)爬到A3處了……雖然每次追趕的距離越來(lái)越小 ， 但是這個(gè)過(guò)程卻是可以永遠(yuǎn)的進(jìn)行下去的 ， 因此阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜 。
<figcaption>圖2 阿基里斯和龜</figcaption>
3、飛矢不動(dòng) 。如圖3所示 。一支飛行的箭是靜止的 。由于每一時(shí)刻這支箭都有其確定的位置因而是靜止的，因此箭就不能處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài) ?！肚f子·天下篇》說(shuō)的也是這個(gè)道理：疾飛之箭，每一瞬間箭既在某點(diǎn)，又不在某點(diǎn)，即所謂的“不行”“不止” ， 也就說(shuō)箭既不動(dòng)也不停，辯證的意味深遠(yuǎn) 。另外，中國(guó)古代的名家慧施也提出過(guò)“飛鳥(niǎo)之景，未嘗動(dòng)也”的類似說(shuō)法 。
<figcaption>圖3 飛矢不動(dòng)</figcaption>
4、運(yùn)動(dòng)場(chǎng) 。假設(shè)在操場(chǎng)上有觀眾席A，列隊(duì)B、C，如圖4所示，在一瞬間（一個(gè)最小時(shí)間單位）里 ， 相對(duì)于觀眾席A，列隊(duì)B、C將分別各向右和左移動(dòng)一個(gè)距離單位 。而此時(shí) ， 對(duì)B而言C移動(dòng)了兩個(gè)距離單位 。也就是，隊(duì)列既可以在一瞬間（一個(gè)最小時(shí)間單位）里移動(dòng)一個(gè)距離單位，也可以在半個(gè)最小時(shí)間單位里移動(dòng)一個(gè)距離單位，這就產(chǎn)生了半個(gè)時(shí)間單位等于一個(gè)時(shí)間單位的矛盾 。因此隊(duì)列是移動(dòng)不了的 。
<figcaption>圖4 運(yùn)動(dòng)場(chǎng)隊(duì)列示意圖</figcaption>
以上是芝諾悖論的四種表述 ， 這四種可分為兩組，前兩個(gè)假設(shè)時(shí)空連續(xù)，后兩個(gè)假設(shè)時(shí)空是分立的 。本文對(duì)悖論里的哲學(xué)辯證思想不做任何討論，只從數(shù)學(xué)的角度探討阿基里斯和龜悖論的原因，另外三個(gè)悖論感興趣的讀者可以自行研究 。
二、阿基里斯和龜
本節(jié)我們?cè)敿?xì)推導(dǎo)一下阿基里斯追不上烏龜?shù)臄?shù)學(xué)原理 。實(shí)際上，這個(gè)悖論的本質(zhì)是兩種不同的度量的比較，一個(gè)普通的時(shí)間度量 ，在這個(gè)度量下阿基里斯最終追上了烏龜，另一個(gè)我們姑且稱作“芝諾鐘“” ， 在這個(gè)度量下，即使時(shí)間趨向于正無(wú)窮，阿基里斯也追不上烏龜 。
假設(shè)開(kāi)始時(shí)阿基里斯與烏龜相距
，二者的速度分別為
和，顯然。在普通鐘下，當(dāng)時(shí)阿基里斯追上烏龜 。而對(duì)于芝諾鐘，每次阿基里斯到達(dá)烏龜本來(lái)所在的地方時(shí)，其“滴答”一下，也就是其值加一 。因此，普通鐘和芝諾鐘的關(guān)系為：
<figcaption>圖5</figcaption>
因此有限的芝諾鐘時(shí)間下阿基里斯是追不上烏龜?shù)?。
三、分析和討論
阿基里斯與烏龜本質(zhì)上來(lái)說(shuō)就是對(duì)時(shí)間度量做了一個(gè)變換，把正常世界的時(shí)間映射到芝諾度量下，用芝諾鐘的指示看運(yùn)動(dòng)，結(jié)論自然不一樣 。既然這是一個(gè)“佯謬”或者“悖論”，就說(shuō)明這肯定是錯(cuò)誤的 。
也有人用量子力學(xué)中的“時(shí)空是離散的”這樣的結(jié)論來(lái)證明芝諾悖論是不成立的，實(shí)際上這是不對(duì)的 。首先，芝諾悖論提出的時(shí)候和量子力學(xué)并沒(méi)有關(guān)系，其中的時(shí)空不連續(xù)也是辯證意義上的；其次，量子力學(xué)的時(shí)空是離散的并不是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)，實(shí)際上量子力學(xué)中并不存在時(shí)空離散這樣的理論或者結(jié)論，具體的內(nèi)容此處不過(guò)多說(shuō)明 。總而言之，芝諾悖論與量子力學(xué)扯不上關(guān)系 。
阿基里斯與龜?shù)你Ｕ搧?lái)自于芝諾鐘的局限性，芝諾鐘所能描述的時(shí)間范圍只是普通鐘的一段 ， 那么，我們所使用的普通鐘是否也有局限性呢？答案是有的！普通鐘不能用來(lái)度量物體落入黑洞之后的過(guò)程，而物體向黑洞掉落的過(guò)程也需要無(wú)窮大的普通鐘時(shí)間 。因此，為了描述與黑洞相關(guān)的現(xiàn)象，我們也需要找到一個(gè)新的鐘來(lái)度量這些過(guò)程 。有興趣的讀者可以自行了解廣義相對(duì)論的內(nèi)容 。
歷史上 ， 人們很早就開(kāi)始懷疑“速度”這個(gè)量，這其中充滿了哲學(xué)的味道 。相傳，在芝諾挑戰(zhàn)運(yùn)動(dòng)現(xiàn)實(shí)性的時(shí)候 ， 希臘哲學(xué)家、犬儒注意的代表性人物第歐根尼（Diogenes，412~323BC）以反對(duì)者的面貌出現(xiàn)——他站起來(lái)，一言不發(fā)地走了幾個(gè)來(lái)回，然后又坐下，以此當(dāng)做他優(yōu)雅地反駁了芝諾 。
注：本文部分內(nèi)容引用國(guó)科大趙亞溥老師的力學(xué)講義和維基百科，文中圖片均來(lái)源于網(wǎng)路 。
3、兔子和烏龜賽跑的邏輯悖論的謎題,解決了嗎?這個(gè)其實(shí)就是芝諾的阿基里斯和烏龜賽跑悖論：
“他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處開(kāi)始，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍 。當(dāng)比賽開(kāi)始后，若阿基里斯跑了1000米，設(shè)所用的時(shí)間為t，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他100米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí)，他所用的時(shí)間為t/10,烏龜仍然前于他10米 。當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)10米時(shí)，他所用的時(shí)間為t/100，烏龜仍然前于他1米……
芝諾解說(shuō)，阿基里斯能夠繼續(xù)逼近烏龜，但決不可能追上它 ?！?br />
我先講一些我自己理解的，比較淺顯：假定烏龜?shù)乃俣仁莢，則阿基里斯的速度10v，假定阿基里斯走s米被趕上，則
s/10v=（s-1000m）/v 解得s=10000/9m
則t=s/10v=1000m/9v
也就是說(shuō)芝諾所說(shuō)的阿基里斯不可能追上烏龜，就隱藏著時(shí)間必須小于1000m/9v這樣一個(gè)條件 。
由于阿基里斯和烏龜是在不斷地運(yùn)動(dòng)的 ， 對(duì)時(shí)間是沒(méi)有限制的 ， 時(shí)間很容易突破1000m/9v這樣一個(gè)條件 。一旦突破1000m/9v這樣一個(gè)條件，阿基里斯就追上了或超過(guò)了烏龜 。
其實(shí)悖論這個(gè)東西遠(yuǎn)沒(méi)有這么簡(jiǎn)單，它的成因極為復(fù)雜且深刻，往往由人們對(duì)某些概念的理解認(rèn)識(shí)不夠深刻正確所致 。這就涉及很多思維邏輯，以至哲學(xué)方面的東西，關(guān)于這一方面其實(shí)我也不很懂，只不過(guò)淺層的分析一下罷了，
下面為官方解釋：【“芝諾悖論”錯(cuò)在哪里?】
芝諾悖論的產(chǎn)生原因，是在于“芝諾時(shí)”不可能度量阿基里斯追上烏龜后的現(xiàn)象 。在芝諾時(shí)達(dá)到無(wú)限后，正常計(jì)時(shí)仍可以進(jìn)行，只不過(guò)芝諾的“鐘”已經(jīng)無(wú)法度量它們了 。這個(gè)悖論實(shí)際上是反映時(shí)空并不是無(wú)限可分的，運(yùn)動(dòng)也不是連續(xù)的 。
阿基里斯悖論的哲學(xué)辨析
阿基里斯悖論分離了運(yùn)動(dòng)與靜止，把運(yùn)動(dòng)絕對(duì)化，否定客觀標(biāo)準(zhǔn) 。是相對(duì)主義詭辯論 。黑格爾在《小邏輯》中說(shuō)：“辯證法切不可與單純的詭辯相混淆 。詭辯的本質(zhì)在于孤立起來(lái)看事物 ， 把本身片面的、抽象的規(guī)定，認(rèn)為是可靠的 ?！鞭q證唯物主義認(rèn)為，運(yùn)動(dòng)與靜止是對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系 。一方面，運(yùn)動(dòng)與靜止的對(duì)立表現(xiàn)在：運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的 ， 靜止是相對(duì)的，二者相互區(qū)別 ， 不可混淆 。所謂運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的是說(shuō)，運(yùn)動(dòng)是物質(zhì)的根本屬性，任何事物在任何條件下都是永恒運(yùn)動(dòng)的，是無(wú)條件的 。所謂靜止是相對(duì)的是說(shuō)，靜止是運(yùn)動(dòng)在特定條件下的特殊狀態(tài)，是有條件的 。另一方面，運(yùn)動(dòng)與靜止的統(tǒng)一表現(xiàn)在：運(yùn)動(dòng)和靜止是相互依存、相互貫通的，即所謂動(dòng)中有靜、靜中有動(dòng) 。在運(yùn)動(dòng)與靜止關(guān)系上有兩種形而上學(xué)的錯(cuò)誤：一種是割裂運(yùn)動(dòng)與靜止的關(guān)系，否認(rèn)運(yùn)動(dòng)，只講靜止，將靜止絕對(duì)化的形而上學(xué)不動(dòng)論；一種是割裂運(yùn)動(dòng)與靜止的關(guān)系，只講運(yùn)動(dòng)，否認(rèn)靜止的形而上學(xué)相對(duì)主義和詭辯論 。
那個(gè)龜兔賽跑的悖論已經(jīng)解決了 。告訴你一個(gè)故事（改編的—）
相傳唐僧西天取經(jīng)途中孫猴子曾被豬呆子給狠狠騙了一回 。不信的話跟我來(lái)吧！
有一天，唐僧叫悟空前去化齋 ， 但他很不愿意，于是叫來(lái)八戒要跟他賽跑，輸了就代他去化齋，八戒當(dāng)然不愿意（不能使用武功也不能玩陰的），但唐僧同志聽(tīng)了立刻舉雙手雙腳表示同意（他自從離開(kāi)大唐就沒(méi)有見(jiàn)過(guò)這樣的比賽了） 。師命如山，不可違抗 。自己就當(dāng)是鍛煉一下身體 。結(jié)果很明顯——八戒贏了 。？？？悟空自然跑得比八戒快，所以他決定讓自己這位師弟一下——讓他先跑10米 。突然聽(tīng)到此消息，八戒當(dāng)場(chǎng)宣布自己已經(jīng)獲勝，無(wú)需再比了 。眾人不解，忙問(wèn)八戒為何如此 。八戒說(shuō)到：“師兄啊師兄，你真是太蠢了 ?！蔽蚩沾笈?。八戒道：“只要我說(shuō)出了理由，從今往后都是你去化齋，行不？”“可以”悟空不耐煩了 。接下來(lái)豬兄向我們展現(xiàn)了他這輩子最聰明的一面——
你讓我先跑，對(duì)吧！
對(duì) 。
但是只要你追到我前一刻所在位置時(shí)，我已經(jīng)又向前跑了一段距離了 ， 是不是？
是 。
那么以此類推，你是不是將永遠(yuǎn)落后于我呢？
??！?。“ ?！悟空惊糖G何裁椿嵴庋?？?br />（此時(shí)在一旁的唐僧也不解了—-自己念了那么多經(jīng) ， 為何連這個(gè)如此簡(jiǎn)單的問(wèn)題都不懂？？?）
悟空帶著滿腔悲憤，抱起齋碗干活去了 ?？吹竭@一幕，我們組的全體同學(xué)都生氣了——堂堂一只猴卻被一只豬欺負(fù)了 。于是吾等便化作五位老農(nóng)截住了悟空：你被騙了！
“什么？！”悟空狂吼 。
我們跟你解釋一下吧！
其實(shí)你中了豬八戒的圈套是因?yàn)槟悴涣私鈺r(shí)間的無(wú)限性和位移的無(wú)限性 。最簡(jiǎn)單的方法：豬八戒說(shuō)只要你追上了他前一時(shí)刻所在位置 ， 他就又向前跑了一段距離 。但是這是錯(cuò)的 。
為何有錯(cuò)？——悟空不解 。
因?yàn)橛锌赡苣阕返剿耙粫r(shí)刻所在位置時(shí)，他并未移動(dòng) ， 只是剛剛抬起豬腳?。?br />??！??！?又是三聲驚呼——豬八戒這回完了！
以上便是芝諾悖論的中國(guó)版本 。
那叫阿基里斯與龜，你直接百度好了
4、龜兔賽跑謬論這是個(gè)很有名的數(shù)學(xué)悖論，阿基里斯與龜?shù)你Ｕ?.不只是你一個(gè)人想不通，以前很多數(shù)學(xué)家也不是一下能搞明白的 。涉及到初等數(shù)學(xué)，極限等概念（到高中差不多能看懂），而且這個(gè)悖論只能反證，鑒于你小學(xué)二年級(jí)..很難說(shuō)明白 。我把找來(lái)的原文摘錄下來(lái) ， 你有興趣可以看看 。
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阿基里斯(Achilles)悖論
阿基里斯是古希臘神話中善跑的英雄 。在他和烏龜?shù)母?jìng)賽中，他速度為烏龜十倍 ， 烏龜在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上烏龜 。因?yàn)樵诟?jìng)賽中，追者首先必須到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)阿基里斯追到100米時(shí) ， 烏龜已經(jīng)又向前爬了10米 ， 于是，一個(gè)新的起點(diǎn)產(chǎn)生了；阿基里斯必須繼續(xù)追，而當(dāng)他追到烏龜爬的這10米時(shí)，烏龜又已經(jīng)向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那個(gè)1米 。就這樣，烏龜會(huì)制造出無(wú)窮個(gè)起點(diǎn)，它總能在起點(diǎn)與自己之間制造出一個(gè)距離，不管這個(gè)距離有多小，但只要烏龜不停地奮力向前爬，阿基里斯就永遠(yuǎn)也追不上烏龜！
“烏龜” 動(dòng)得最慢的物體不會(huì)被動(dòng)得最快的物體追上 。由于追趕者首先應(yīng)該達(dá)到被追者出發(fā)之點(diǎn)，此時(shí)被追者已經(jīng)往前走了一段距離 。因此被追者總是在追趕者前面 。”
如柏拉圖描述，芝諾說(shuō)這樣的悖論，是興之所至的小玩笑 。首先，巴門尼德編出這個(gè)悖論 ， 用來(lái)嘲笑"數(shù)學(xué)派"所代表的畢達(dá)哥拉斯的" 1-0.999…>0"思想 。然后，他又用這個(gè)悖論，嘲笑他的學(xué)生芝諾的"1-0.999…=0, 但1-0.999…>0"思想 。最后，芝諾用這個(gè)悖論，反過(guò)來(lái)嘲笑巴門尼德的"1-0.999…=0, 或1-0.999…>0"思想 。
有人解釋道：若慢跑者在快跑者前一段，則快跑者永遠(yuǎn)趕不上慢跑者，因?yàn)樽汾s者必須首先跑到被追者的出發(fā)點(diǎn) ， 而當(dāng)他到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn)，慢跑者又向前了一段 ， 又有新的出發(fā)點(diǎn)在等著它，有無(wú)限個(gè)這樣的出發(fā)點(diǎn) 。
芝諾當(dāng)然知道阿基里斯能夠捉住海龜，跑步者肯定也能跑到終點(diǎn) 。
類似阿基里斯追上海龜之類的追趕問(wèn)題，我們可以用無(wú)窮數(shù)列的求和，或者簡(jiǎn)單建立起一個(gè)方程組就能算出所需要的時(shí)間，那么既然我們都算出了追趕所花的時(shí)間，我們還有什么理由說(shuō)阿基里斯永遠(yuǎn)也追不上烏龜呢？然而問(wèn)題出在這里：我們?cè)谶@里有一個(gè)假定，那就是假定阿基里斯最終是追上了烏龜，才求出的那個(gè)時(shí)間 。但是芝諾的悖論的實(shí)質(zhì)在于要求我們證明為何能追上 。上面說(shuō)到無(wú)窮個(gè)步驟是難以完成 。
以上初等數(shù)學(xué)的解決辦法，是從結(jié)果推往過(guò)程的 。悖論本身的邏輯并沒(méi)有錯(cuò)，它之所以與實(shí)際相差甚遠(yuǎn)，在于這個(gè)芝諾與我們采取了不同的時(shí)間系統(tǒng) 。人們習(xí)慣于將運(yùn)動(dòng)看做時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，而芝諾的解釋則采取了離散的時(shí)間系統(tǒng) 。即無(wú)論將時(shí)間間隔取的再小 ， 整個(gè)時(shí)間軸仍是由有限的時(shí)間點(diǎn)組成的 。換句話說(shuō)，連續(xù)時(shí)間是離散時(shí)間將時(shí)間間隔取為無(wú)窮小的極限 。
其實(shí)這歸根到底是一個(gè)時(shí)間的問(wèn)題 。譬如說(shuō)，阿基里斯速度是10m/s，烏龜速度是1m/s,烏龜在前面100m 。實(shí)際情況是阿基里斯必然會(huì)在100/9秒之后追上烏龜 。按照悖論的邏輯，這100/9秒可以無(wú)限細(xì)分 ， 給我們一種好像永遠(yuǎn)也過(guò)不完的印象 。但其實(shí)根本不是如此 。這就類似于有1秒時(shí)間，我們先要過(guò)一半即1/2秒，再過(guò)一半即1/4秒，再過(guò)一半即1/8秒 ， 這樣下去我們永遠(yuǎn)都過(guò)不完這1秒，因?yàn)闊o(wú)論時(shí)間再短也可無(wú)限細(xì)分 。但其實(shí)我們真的就永遠(yuǎn)也過(guò)不完這1秒了嗎？顯然不是 。盡管看上去我們要過(guò)1/2、1/4、1/8秒等等，好像永遠(yuǎn)無(wú)窮無(wú)盡 。但其實(shí)時(shí)間的流動(dòng)是勻速的，1/2、1/4、1/8秒，時(shí)間越來(lái)越短，看上去無(wú)窮無(wú)盡，其實(shí)加起來(lái)只是個(gè)常數(shù)而已，也就是1秒 。所以說(shuō)，芝諾的悖論是不存在的 。
你的概念，我個(gè)人的理解是 ， 完全每一段的起點(diǎn)和終點(diǎn)把時(shí)間禁錮在一個(gè)點(diǎn)上，時(shí)間不變的前提上，雖然兔子的速度比烏龜快 。但是兔子是不可能超過(guò)烏龜?shù)?，?yīng)為時(shí)間為0 ， 所以不管怎樣在那個(gè)片段的時(shí)間段里 ， 烏龜和兔子在時(shí)間為0的基礎(chǔ)上，兔子就不可能追上烏龜 ， 然后就是你說(shuō)到了下一個(gè)點(diǎn)，烏龜和兔子的時(shí)間也是停留在那個(gè)片段，兔子在后，烏龜在前，所以兔子永遠(yuǎn)也追不上烏龜，不知道我這解釋如何..
通過(guò)的時(shí)間不一樣啊….點(diǎn)能組成線，烏龜經(jīng)過(guò)這線的時(shí)間比兔子慢..由于這個(gè)謬論討論的是點(diǎn).也就是時(shí)刻 所以把時(shí)間忽略了
時(shí)間是事件發(fā)生到結(jié)束的時(shí)刻間隔 。也就是說(shuō)時(shí)間是一段一段的 物理學(xué)中的時(shí)間和生活中所說(shuō)的時(shí)間是不一樣的 生活中的時(shí)間準(zhǔn)確的來(lái)講是時(shí)刻 是點(diǎn)時(shí)間
假設(shè)烏龜距離他100米 ， 烏龜每秒跑一米他每秒跑十米，每次相差九米，要超過(guò)烏龜要用11.111111…秒，就算是11.12秒，但是像這個(gè)邏輯，他們跑的時(shí)間，始終沒(méi)有11.12秒，所以不可能超過(guò) 。
時(shí)間不可以無(wú)限分割 它這樣算下去永遠(yuǎn)到不了追上的那個(gè)時(shí)間
如果只把烏龜所在的點(diǎn)視為終點(diǎn)，兔子跑到烏龜原來(lái)那點(diǎn)上，烏龜移動(dòng)，終點(diǎn)就變了，兔子也就沒(méi)有到達(dá)烏龜所在的終點(diǎn) 。
5、請(qǐng)解釋阿吉利斯悖論,關(guān)于龜兔賽跑的故事阿吉利斯悖論（Achilles Paradox）
這是由古希臘哲人芝諾（Zenon of Eleates）提出的一個(gè)經(jīng)典悖論 。阿吉利斯是古希臘神話中善跑如飛的英雄 。阿吉利斯悖論就是說(shuō)如果烏龜先跑讓阿吉利斯追趕烏龜 ， 他卻永遠(yuǎn)追不上 。
因?yàn)闊o(wú)論阿基里斯跑得多快，他必須先跑完從他出發(fā)的起點(diǎn)到烏龜當(dāng)下距離的一半，等他趕完這段路程，烏龜又往前挪動(dòng)了一些，他則必須再追其間的一半，如此一往，永無(wú)止境 ， 盡管阿基里斯會(huì)離烏龜越來(lái)越近 ， 但他不可能窮盡那個(gè)沒(méi)有盡頭的二分法論證，因此他終究不可能追上前面的烏龜 。比方說(shuō)，阿吉利斯的速度是烏龜?shù)?0倍，龜在前面100米處，當(dāng)阿吉利斯跑了100米到烏龜出發(fā)點(diǎn)時(shí)龜已向前走了10米，阿氏追10米，龜又走了1米，阿氏再追1米 ， 龜又向前走了0.1米…… 這樣永遠(yuǎn)隔一小段距離 ， 所以總也趕不上 。
這與我們的常理當(dāng)然是相背離的 。芝諾還說(shuō)“飛矢不動(dòng)”，他認(rèn)為 ， 既然一支箭在靜止?fàn)顟B(tài)下一定要占據(jù)一個(gè)和它自身大小相同的位置，那么，如果它在運(yùn)動(dòng)的任一瞬間仍然照樣占據(jù)著同等的空間，則飛矢的過(guò)程便只是許多靜止的點(diǎn)的集合 ， 所以飛矢在總體上是不動(dòng)的，倘若說(shuō)它在動(dòng)，那就等于承認(rèn)它同時(shí)在這一點(diǎn)上又不在這一點(diǎn)上這一矛盾，因此是不可能的 。諸如此類的“芝諾命題”看似荒唐，卻包含著對(duì)“時(shí)間與空間”、“運(yùn)動(dòng)與靜止”等等問(wèn)題的根本質(zhì)疑 ， 并具有深刻的邏輯合理性 ， 由此引發(fā)西方后來(lái)的哲學(xué)家不停地探討這些問(wèn)題，直到兩千多年后的黑格爾和愛(ài)因斯坦仍然不得不繼續(xù)思考它 。說(shuō)起來(lái)，莊子在《天下篇》中也談到惠子提出過(guò)類似話題：“飛鳥(niǎo)之景，未嘗動(dòng)也”；“鏃矢之疾而有不行不止之時(shí)”；“一尺之捶 ， 日取其半，萬(wàn)世不竭”等等 。
【阿基里斯與龜悖論解釋,為什么說(shuō)阿基里斯追不上烏龜】第一個(gè)悖題：但是這個(gè)所謂的無(wú)限是有極限的，極限就是1/9，那么就是說(shuō)這所謂的“永遠(yuǎn)”其實(shí)是發(fā)生在小到驚人的一霎那，在真實(shí)世界中絕不會(huì)有人跑個(gè)萬(wàn)分之一米給你看
飛失不動(dòng)則是從另一個(gè)方向考慮，箭的結(jié)構(gòu)并沒(méi)有改變 ， 所以箭相對(duì)于自己是不運(yùn)動(dòng)的沒(méi)錯(cuò)，但是，沒(méi)有絕對(duì)的運(yùn)動(dòng)也沒(méi)有絕對(duì)的靜止，運(yùn)動(dòng)與靜止實(shí)現(xiàn)相對(duì)的（出自相對(duì)論、平行宇宙論、牛頓定律等處） ， 也就是說(shuō)，箭雖然相對(duì)自己沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，但時(shí)間相對(duì)于其他物體在運(yùn)動(dòng)
也就是說(shuō)可以這么解釋：如果你說(shuō)箭是不動(dòng)得，那么就必須承認(rèn)其他物體在運(yùn)動(dòng)，如果你說(shuō)其他物體是不動(dòng)的 ， 那箭就在動(dòng)，因?yàn)樗鼈冎g的運(yùn)動(dòng)與否是相對(duì)的
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